2. Considere el experimento que consiste en un empleado que arma un producto. a. Defina la variable aleatoria que represente el tiempo en minutos requerido para armar el producto. b. ¿Qué valores toma la variable aleatoria? c. ¿Es una variable aleatoria discreta o continua?
3. Tres estudiantes agendan entrevistas para un empleo de verano en el Brookwood Institute. En cada caso el resultado de la entrevista será una oferta de trabajo o ninguna oferta. Los resultados experimentales se definen en términos de los resultados de las tres entrevistas. a. Enumere los resultados experimentales. b. Defina una variable aleatoria que represente el número de ofertas de trabajo. ¿Es una variable aleatoria continua? c. Dé el valor de la variable aleatoria que corresponde a cada uno de los resultados experimentales.
4. Suponga que conoce la tasa hipotecaria de 12 instituciones de préstamo. La variable aleatoria que interesa es el número de las instituciones de préstamo en este grupo que ofrecen una tasa fija a 30 años de 8.5% o menos. ¿Qué valores toma esta variable aleatoria?
6. Acontinuación se da una serie de experimentos y su variable aleatoria correspondiente. En cada caso determine qué valores toma la variable aleatoria y diga si se trata de una variable aleatoria discreta o continua
7. Acontinuación se presenta la distribución de probabilidad de una variable aleatoria x.
a. ¿Es válida esta distribución de probabilidad?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que x 30?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que x sea menor o igual que 25?
d. ¿Cuál es la probabilidad de que x sea mayor que 30?
8. Los datos siguientes se obtuvieron contando el número de salas de operaciones de un hospital que fueron usadas en un periodo de 20 días. Tres de estos 20 días sólo se usó una sala de operaciones, cinco de estos 20 días se usaron dos, ocho de estos 20 días se usaron tres salas de operaciones y cuatro de estos 20 días se usaron las cuatro salas de operaciones del hospital. a. Use el método de las frecuencias relativas para elaborar una distribución de probabilidad para el número de salas de operaciones usadas en un día. b. Elabore una gráfica a partir de la distribución de probabilidad. c. Muestre que la distribución de probabilidad elaborada satisface las condiciones requeridas para una distribución de probabilidad.
10. En la tabla 5.4 se muestra la distribución de frecuencias porcentuales para las puntuaciones dadas a la satisfacción con el trabajo por una muestra de directivos en sistemas de información de nivel alto y de nivel medio. Las puntuaciones van de 1 (muy insatisfecho) a 5 (muy satisfecho).
TABLA 5.4 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAPORCENTUALDE LAS PUNTUACIONES DADAS POR DIRECTIVOS DE NIVELALTO YDE NIVELMEDIO ALA SATISFACCIÓN CON ELTRABAJO
a. Elabore una distribución de probabilidad con las puntuaciones dadas a la satisfacción con el trabajo por los directivos de nivel alto. b. Elabore una distribución de probabilidad con las puntuaciones dadas a la satisfacción con el trabajo por los directivos de nivel medio. c. ¿Cuál es la probabilidad de que un ejecutivo de nivel alto dé una puntuación de 4 o 5 a su satisfacción con el trabajo? d. ¿Cuál es la probabilidad de que un ejecutivo de nivel medio esté muy satisfecho? e. Haga una comparación entre la satisfacción con el trabajo de los ejecutivos de nivel alto y la que tienen los ejecutivos de nivel medio.
12. El jefe del departamento de admisión de una universidad calcula subjetivamente una distribución de probabilidad para x, el número de estudiantes que ingresarán en la universidad. Acontinuación se presenta esta distribución de probabilidad.
14. La tabla siguiente es una distribución parcial de probabilidades para las ganancias proyectadas de MRACompany (x ganancias en miles de dólares) durante el primer año de operación (los valores negativos indican pérdida).
a. ¿Cuál es el valor adecuado para f(200)? ¿Qué interpretación le da a este valor? b. ¿Cuál es la probabilidad de que la empresa sea rentable? c. ¿Cuál es la probabilidad de que la empresa gane por lo menos $100 000?
16. La tabla siguiente muestra la distribución de probabilidad de una variable aleatoria y
a. Calcule E(y).
b. Calcule Var(y) y σ.
18. Los datos siguientes son el número de recámaras en casas rentadas y en casas propias en ciudades centrales de Estados Unidos (www.census.gov, 31 de marzo de 2003).
a. Defina una variable aleatoria x número de recámaras en casas rentadas y elabore una distribución de probabilidad para esta variable. (x 4 representará 4 recámaras o más.) b. Calcule el valor esperado y la varianza del número de recámaras en casas rentadas. c. Defina una variable aleatoria y número de recámaras en casas propias y elabore una distribución de probabilidad para esta variable. (y 4 representará 4 recámaras o más.) d. Calcule el valor esperado y la varianza del número de recámaras en casas propias. e. ¿Qué observaciones resultan al comparar el número de recámaras en casas rentadas y en casas propias?
20. A continuación se presenta la distribución de probabilidad para los daños pagados por una empresa de seguros para automóviles, en seguros contra choques.
a. Use el pago esperado para determinar la prima en el seguro de choques que le permitirá a la empresa cubrir los gastos. b. La empresa de seguros cobra una tasa anual de $520 por la cobertura de choques. ¿Cuál es el valor esperado de un seguro de choques para un asegurado? (Indicación: son los pagos esperados de la empresa menos el costo de cobertura.) ¿Por qué compran los asegurados un seguro de choques con este valor esperado?
22. La demanda de un producto de una empresa varía enormemente de mes a mes. La distribución de probabilidad que se presenta en la tabla siguiente, basada en los datos de los dos últimos años, muestra la demanda mensual de la empresa
a. Si la empresa basa las órdenes mensuales en el valor esperado de la demanda mensual, ¿cuál será la cantidad ordenada mensualmente por la empresa para este producto? b. Suponga que cada unidad demandada genera $70 de ganancia y que cada unidad ordenada cuesta $50. ¿Cuánto ganará o perderá la empresa en un mes si coloca una orden con base en su respuesta al inciso a y la demanda real de este artículo es de 300 unidades?
24. J. R. Ryland Computer Company está considerando hacer una expansión a la fábrica para empezar a producir una nueva computadora. El presidente de la empresa debe determinar si hacer un proyecto de expansión a mediana gran escala. La demanda del producto nuevo es incierta, la cual, para los fines de planeación puede ser demanda pequeña, mediana o grande. Las probabilidades estimadas para la demanda son 0.20, 0.50 y 0.30, respectivamente. Con x y y representando ganancia anual en miles de dólares, los encargados de planeación en la empresa elaboraron el siguiente pronóstico de ganancias para los proyectos de expansión a mediana y gran escala.
a. Calcule el valor esperado de las ganancias correspondientes a las dos alternativas de expansión. ¿Cuál de las decisiones se prefiere para el objetivo de maximizar la ganancia esperada? b. Calcule la varianza de las ganancias correspondientes a las dos alternativas de expansión. ¿Cuál de las decisiones se prefiere para el objetivo de minimizar el riesgo o la incertidumbre?
25. Considere un experimento binomial con dos ensayos y p 0.4. a. Dibuje un diagrama de árbol para este experimento (véase figura 5.3). b. Calcule la probabilidad de un éxito, f(1). c. Calcule f(0). d. Calcule f(2). e. Calcule la probabilidad de por lo menos un éxito. f. Calcule el valor esperado, la varianza y la desviación estándar
26. Considere un experimento binomial con n 10 y p 0.10. a. Calcule f(0). b. Calcule f(2). c. Calcule P (x 2). d. Calcule P (x 1). e. Calcule E(x). f. Calcule Var(x) y σ.
28. Una encuesta de Harris Interactive para InterContinental Hoteld and Resorts preguntó: “Cuando viaja al extranjero, ¿suele aventurarse usted solo para conocer la cultura o prefiere permanecer con el grupo de su tour y apegarse al itinerario?” Se encontró que 23% prefiere permanecer con el grupo de su tour (USA Today, 21 de enero de 2004). a. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de seis viajeros, dos prefieran permanecer con su grupo? b. ¿De que en una muestra de seis viajeros, por lo menos dos prefieran permanecer con su grupo? c. ¿De que en una muestra de 10 viajeros, ninguno prefiera permanecer con su grupo?
30. Cuando una máquina nueva funciona adecuadamente, sólo 3% de los artículos producidos presentan algún defecto. Suponga que selecciona aleatoriamente dos piezas producidas con la nueva máquina y que busca el número de piezas defectuosas. a. Describa las condiciones en las que éste será un experimento binomial. b. Elabore un diagrama de árbol como el de la figura 5.3 en el que se muestre este problema como un experimento de dos ensayos. c. ¿En cuántos resultados experimentales hay exactamente una pieza defectuosa? d. Calcule las probabilidades de hallar ninguna pieza defectuosa, exactamente una pieza defectuosa y dos piezas defectuosas.
32. Los radares militares y los sistemas para detección de misiles tienen por objeto advertir a un país de un ataque enemigo. Una cuestión de confiabilidad es si el sistema de detección será capaz de detectar un ataque y emitir un aviso. Suponga que la probabilidad de que un determinado sistema de detección detecte un ataque con misiles es 0.90. Use la distribución de probabilidad binomial para responder las preguntas siguientes. a. ¿Cuál es la probabilidad de que un solo sistema de detección detecte un ataque? b. Si se instalan dos sistemas de detección en una misma área y los dos operan independientemente, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de los sistemas detecte el ataque? c. Si se instalan tres sistemas, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de los sistemas detecte el ataque? d. ¿Recomendaría que se usaran varios sistemas de detección? Explique.
34. En una encuesta realizada por la Oficina de Censos de Estados Unidos se encontró que 25% de las personas de 25 años o más habían estudiado cuatro años en la universidad (The New York Times Almanac, 2006). Dada una muestra de 15 individuos de 25 años o más, conteste las preguntas siguientes. a. ¿Cuál es la probabilidad de que cuatro hayan estudiado cuatro años en la universidad? b. ¿De que tres o más hayan estudiado cuatro años en la universidad?
38. Considere una distribución de Poisson con μ 3. a. Dé la adecuada función de probabilidad de Poisson. b. Calcule f(2). c. Calcule f(1). d. Calcule P(x 2).
39. Considere una distribución de Poisson en que la media es de dos ocurrencias por un periodo de tiempo. a. Dé la adecuada función de probabilidad de Poisson. b. ¿Cuál es el número esperado de ocurrencias en tres periodos de tiempo? c. Dé la adecuada función de probabilidad de Poisson para determinar la probabilidad de x ocurrencias en tres lapsos. d. Calcule la probabilidad de dos ocurrencias en un periodo de tiempo. e. Calcule la probabilidad de seis ocurrencias en tres periodos de tiempo. f. Calcule la probabilidad de cinco ocurrencias en dos periodos de tiempo.
40. Ala oficina de reservaciones de una aerolínea regional llegan 48 llamadas por hora. a. Calcule la probabilidad de recibir cinco llamadas en un lapso de 5 minutos. b. Estime la probabilidad de recibir exactamente 10 llamadas en un lapso de 15 minutos. c. Suponga que no hay ninguna llamada en espera. Si el agente de viajes necesitará 5 minutos para la llamada que está atendiendo, ¿cuántas llamadas habrá en espera para cuando él termine? ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ninguna llamada en espera? d. Si en este momento no hay ninguna llamada, ¿cuál es la probabilidad de que el agente de viajes pueda tomar 3 minutos de descanso sin ser interrumpido por una llamada?
42. En Estados Unidos, cada año, más de 50 millones de huéspedes se alojan en un “Bread and breakfast” (B&B). El sitio Web dedicado a los alojamientos tipo Bread and Breakfast en Estados Unidos (www.bestinns.net), que tiene un promedio aproximado de siete visitantes por minuto, permite a muchos B&B obtener huéspedes (Time, septiembre de 2001). a. Calcule la probabilidad de que no haya ningún visitante al sitio Web en un lapso de un minuto. b. De que haya dos o más visitantes al sitio Web en un lapso de un minuto. c. De que haya uno o más visitantes al sitio Web en un lapso de 30 segundos. d. De que haya cinco o más visitantes al sitio Web en un lapso de un minuto.
44. Cada año ocurren en promedio 15 accidentes aéreos (The World Almanac and Book of Facts,2004). a. Calcule el número medio de accidentes aéreos por mes. b. Calcule la probabilidad de que no haya ningún accidente en un mes. c. De que haya exactamente un accidente en un mes. d. De que haya más de un accidente en un mes
46. Suponga que N 10 y r 3. Calcule las probabilidades hipergeométricas correspondientes a los valores siguiente de n y x.
a. n= 4, x= 1.
b. n= 2, x= 2.
c. n= 2, x= 0.
d. n= 4, x= 2
48. En una encuesta realizada por Gallup Organization, se les preguntó a los interrogados, “Cuál es el deporte que prefieres ver”. Futbol y básquetbol ocuparon el primero y segundo lugar de preferencia (www.gallup.com, 3 de enero de 2004). Si en un grupo de 10 individuos, siete prefieren futbol y tres prefieren básquetbol. Se toma una muestra aleatoria de tres de estas personas. a. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente dos prefieren el futbol? b. ¿De que la mayoría (ya sean dos o tres) prefiere el futbol?
50. Una empresa fabrica computadoras personales en dos fábricas, una en Texas y la otra en Hawai. La fábrica de Texas tiene 40 empleados; la fábrica de Hawai tiene 20 empleados. Auna muestra aleatoria de 20 empleados se le pide que llene un cuestionario sobre prestaciones. a. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los empleados de la muestra trabaje en la fábrica de Hawai? b. ¿De que uno de los empleados de la muestra trabaje en la fábrica de Hawai? c. ¿De que dos o más de los empleados de la muestra trabajen en la fábrica de Hawai? d. ¿De que nueve de los empleados de la muestra trabajen en la fábrica de Texas?
52. En un pedido de 10 artículos hay dos defectuosos y ocho no defectuosos. Para la inspección del pedido se tomará una muestra y se inspeccionará. Si se encuentra un artículo defectuoso todo el pedido de 10 artículos será devuelto. a. Si toma una muestra de tres artículos, ¿cuál es la probabilidad de que devuelva el pedido? b. Si toma una muestra de cuatro artículos, ¿cuál es la probabilidad de que devuelva el pedido? c. Si toma una muestra de cinco artículos, ¿cuál es la probabilidad de que devuelva el pedido? d. Si la administración desea que la probabilidad de rechazar un pedido en el que haya dos artículos defectuosos y ocho no defectuosos sea 0.90, ¿de qué tamaño recomienda que sea la muestra?
54. La American Association of Individual Investors publica una guía anual con los principales fondos mutualistas (The Individual Investor´s Guide to the Top Mutual Founds, 22ª ed., American Association of Individual Investors, 2003). En la tabla 5.10 se presenta la clasificación de 29 fondos mutualistas de acuerdo con el riesgo. a. Sea x una variable que va desde x 1 con el menor riesgo hasta el mayor riesgo con x 5. Elabore una distribución de probabilidad para el nivel de riesgo. b. ¿Cuál es el valor esperado y la varianza del nivel de riesgo? c. Se encontró que 11 de éstos eran fondos de renta fija. De ellos siete se clasificaron como bajos y cuatro como abajo del promedio. Compare el riesgo de los fondos de renta fija con los 18 fondos de acciones.
TABLA 5.10 DE 29 FONDOS MUTUALISTAS
56. En un estudio realizado por la Bureau of Transportation Statistics se encontró que, en promedio, la duración del recorrido de la casa al trabajo de una persona es de 26 minutos. También que 5% de las personas necesitan más de una hora para transportarse de su casa al trabajo. a. Si interroga a 20 de estas personas, ¿cuál es la probabilidad de que informen que necesitan más de una hora para ir de su casa el trabajo? b. Si interroga a 20 de estas personas, ¿cuál es la probabilidad de que ninguna de ellas informe que necesita más de una hora para ir de su casa al trabajo?
c. Si en una empresa hay 2000 empleados, ¿cuál es el número esperado de empleados que necesita más de una hora para trasladarse de su casa al trabajo? d. Si en una empresa hay 2000 empleados, ¿cuál es la varianza y la desviación estándar del número de empleados que necesitan más de una hora para trasladarse de su casa al trabajo.
58. Muchas empresas usan una técnica de control de calidad conocida como muestreo de aceptación para vigilar los pedidos que reciben de piezas, materia prima, etc. En la industria electrónica, los componentes se suelen recibir por lotes grandes. La inspección de una muestra de n componentes se considera como n ensayos de un experimento binomial. El resultado de la revisión de cada componente (ensayo) es que el componente sea clasificado como bueno o como defectuoso. Reynolds Electronics acepta el lote de un determinado distribuidor si los componentes defectuosos encontrados en el lote no son más de 1%. Suponga que se prueba una muestra aleatoria de cinco artículos del último lote recibido. a. Asuma que 1% del lote recibido está defectuoso. Calcule la probabilidad de que ningún elemento de la muestra esté defectuoso. b. Admita que 1% del lote recibido está defectuoso. Calcule la probabilidad de que exactamente un elemento de la muestra esté defectuoso. c. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar uno o más artículos defectuosos si 1% del lote está defectuoso? d. ¿Estaría usted tranquilo al aceptar el lote si se encuentra un artículo defectuoso? ¿Por qué sí o por qué no?
60. Un sondeo de Zogby encontró que de los estadounidenses para quienes la música es “muy importante” en su vida, 30% dice que su estación de radio “siempre” toca la clase de música que le gusta. Suponga que toma una muestra de 800 personas para quienes la música es muy importante en su vida. a. ¿Cuántas afirmarían que su estación de radio siempre toca la música que les gusta? b. ¿Cuál es la desviación estándar del número de interrogados para quienes su estación de radio siempre toca la música que les gusta? c. ¿Cuál es la desviación estándar del número de interrogados para quienes su estación de radio no siempre toca la música que les gusta?
62. En un proceso nuevo de producción automática hay en promedio 1.5 interrupciones por día. Debido al elevado costo de las interrupciones, los directivos están preocupados por la posibilidad de que en un día haya tres o más interrupciones. Suponga que las interrupciones se presentan en forma aleatoria, que la probabilidad de una interrupción es la misma en cualesquiera dos intervalos de una misma duración y que las interrupciones en un intervalo de tiempo son independientes de las interrupciones en otro intervalo de tiempo. ¿Cuál es la probabilidad de que haya tres o más interrupciones en un día?
64. Las llegadas de los clientes a un banco son aleatorias e independientes; la probabilidad de una llegada en un lapso cualquiera de un minuto es la misma que la probabilidad de una llegada en otro lapso cualquiera de un minuto. Conteste las preguntas siguientes suponiendo que la tasa media de llegadas en un lapso de un minuto es tres clientes. a. ¿Cuál es la probabilidad de exactamente tres llegadas en un minuto? b. ¿Cuál es la probabilidad de por lo menos tres llegadas en un minuto?
66. En la semana que terminó el 16 de septiembre de 2001, Tiger Woods estuvo a la cabeza en ganancia de dinero en el PGATour, con una ganancia total de $5 517 777. De los 10 principales jugadores en ganancias de dinero siete usaron pelotas de golf de la marca Titleist (www.pgatour.com). Suponga que toma al azar a dos de estos principales ganadores. a. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente uno use una pelota de golf de la marca Titleist? b. ¿De que los dos usen una pelota de golf de la marca Titleist? c. ¿De que ninguno use una pelota de golf de la marca Titleist?
