a. Elabore un diagrama de árbol de este experimento.
b. Enumere los resultados del experimento.
c. ¿Cuál es la probabilidad que le corresponde a cada uno de los resultados?
6. Un experimento que tiene tres resultados es repetido 50 veces y se ve que E1 aparece 20 veces, E2 13 veces y E3 17 veces. Asigne probabilidades a los resultados. ¿Qué método empleó?
9. El muestreo aleatorio simple usa una muestra de tamaño n tomada de una población de tamaño N para obtener datos para hacer inferencias acerca de las características de la población. Suponga que, de una población de 50 cuentas bancarias, desea tomar una muestra de cuatro cuentas con objeto de tener información acerca de la población. ¿Cuantas muestras diferentes de cuatro cuentas pueden obtener?
10. El capital de riesgo es una fuerte ayuda para los fondos disponibles de las empresas. De acuerdo con Venture Economics (Investor’s Business Daily, 28 de abril de 2000) de 2374 desembolsos en capital de riesgo, 1434 son de empresas en California, 390 de empresas en Massachussets, 217 de empresas en Nueva York y 112 de empresas en Colorado. Veintidós por ciento de las empresas que reciben fondos se encuentran en las etapas iniciales de desarrollo y 55% en la etapa de expansión. Suponga que desea tomar en forma aleatoria una de estas empresas para saber cómo son usados los fondos de capital de riesgo. a. ¿Cuál es la probabilidad de que la empresa que seleccione sea de California? b. ¿De que la empresa no sea de ninguno de los estados citados? c. ¿De que la empresa elegida no se encuentre en las etapas iniciales de desarrollo? d. Si admite que las empresas en las etapas iniciales de desarrollo tuvieran una distribución homogénea en todo el país, ¿cuántas empresas de Massachussets que reciben fondos de capital de riesgo se encuentran en las etapas iniciales de desarrollo? e. La cantidad total de fondos invertidos es $32.4 mil millones. Estime la cantidad destinada a Colorado.
12. En Estados Unidos hay una lotería que se juega dos veces por semana en 28 estados, en las Islas Vírgenes y en el Distrito de Columbia. Para jugar, debe comprar un billete y seleccionar cinco números del 1 al 55 y un número del 1 al 42. Para determinar al ganador se sacan 5 bolas blancas entre 55 bolas blancas y una bola roja entre 42 bolas rojas. Quien atine a los cinco números de bolas blancas y al número de la bola roja es el ganador. Ocho trabajadores de una empresa tienen el récord del mayor premio, ganaron $365 millones al atinarle a los números 15-17-43-4449 de las bolas blancas y al 29 de las bolas rojas. En cada juego hay también otros premios. Por ejemplo, quien atina a los cinco números de las bolas blancas se lleva un premio de $200 000 (www.powerball.com, 19 de marzo de 2006).
a. ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar los primeros cinco números?
b. ¿Cuál es la probabilidad de ganar los $200 000 atinándole a los cinco números de bolas blancas?
14. Para un experimento hay cuatro resultados que son igualmente posibles: E1, E2, E3 y E4. a. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra E2?
b. ¿De que ocurra cualquiera de dos resultados (por ejemplo, E1 o E2)?
c. ¿De que ocurran tres de estos resultados (E1 o E2 o E4)?
15. Considere el experimento de seleccionar un naipe de una baraja con 52 naipes. Cada naipe es un punto muestral y su probabilidad es 1/52.
a. Enumere los puntos muestrales del evento si selecciona un as.
b. Enumere los puntos muestrales del evento si selecciona un trébol.
c. Enumere los puntos muestrales del evento si selecciona una figura (sota, rey o reina). d. Halle la probabilidad correspondiente a cada uno de los eventos de los incisos a, b y c.
a. ¿Cuántos puntos muestrales habrá? (Sugerencia: Use la regla de conteo para experimentos de pasos múltiples.)
b. Enumere los puntos muestrales.
c. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 7?
d. ¿De obtener un 9 o un número mayor?
e. Como en cada lanzamiento son factibles seis valores pares (2, 4, 6, 8, 10, y 12) y sólo cinco impares (3, 5, 7, 9 y 11), se tendrán más veces resultados pares que impares. ¿Está de acuerdo? Explique
f. ¿Qué método usó para calcular las probabilidades pedidas?
17. Consulte las tablas 4.2 y 4.3 que muestran los puntos muestrales del proyecto KP&L y sus probabilidades.
a. La etapa del diseño (etapa 1) saldrá del presupuesto si su duración es mayor a 4 meses. Liste los puntos muestrales del evento si la etapa del diseño sale del presupuesto.
b. ¿Cuál es la probabilidad de que la etapa del diseño salga del presupuesto?
c. La etapa de la construcción (etapa 2) saldrá del presupuesto si su duración es mayor a 8 meses. Enumere los puntos muestrales del evento si la etapa de construcción sale del presupuesto.
d. ¿Cuál es la probabilidad de que la etapa de construcción salga del presupuesto?
e. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos etapas salgan del presupuesto?
18. Suponga que el administrador de un complejo grande de departamentos proporciona la siguiente estimación de probabilidades subjetivas acerca del número de departamentos libres que habrá el mes próximo.
20. La revista Fortunepublica anualmente una lista de las 500 empresas más grandes de Estados Unidos. Acontinuación se presentan los cinco estados en los que hay más de estas 500 empresas de Fortune.
A={E1, E2}
B= {E3, E4}
C = {E2, E3, E5}
a. Halle P(A), P(B) y P(C).
b. Calcule P(A B). ¿A y B son mutuamente excluyentes?
c. Estime Ac, Cc, P(Ac) y P(Cc).
d. Halle A Bc y P(A Bc).
e. Halle P(B C).
23. Suponga que se tiene el espacio muestral S {E1, E2, E3, E4, E5, E6, E7}, donde E1, E2, ..., E7 denotan puntos muestrales. La asignación de probabilidades es la siguiente: P(E1) 0.05, P(E2) 0.20, P(E3) 0.20, P(E4) 0.25, P(E5) 0.15, P(E6) 0.10 y P(E7) 0.05. Sea
a. Halle P(A), P(B) y P(C).
b. Encuentre A B y P(A B).
c. Halle A B y P(A B). d. ¿Los eventos A y B son mutuamente excluyentes? e. Halle Bc y P(Bc)
24. Las autoridades de Clarkson University realizaron un sondeo entre sus alumnos para conocer su opinión acerca de su universidad. Una pregunta fue si la universidad no satisface sus expectativas, si las satisface o si supera sus expectativas. Encontraron que 4% de los interrogados no dieron una respuesta, 26% respondieron que la universidad no llenaba sus expectativas y 56% indicó que la universidad superaba sus expectativas.
a. Si toma un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que diga que la universidad supera sus expectativas?
b. Si toma un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que diga que la universidad satisface o supera sus expectativas?
26. Datos sobre las 30 principales acciones y fondos balanceados proporcionan los rendimientos porcentuales anuales y a 5 años para el periodo que termina el 31 de marzo de 2000 (The Wall Street Journal, 10 de abril de 2000). Suponga que considera altos un rendimiento anual arriba de 50% y un rendimiento a cinco años arriba de 300%. Nueve de los fondos tienen un rendimiento anual arriba de 50%, siete de los fondos a cinco años lo tienen arriba de 300% y cinco de los fondos tienen tanto un rendimiento anual arriba de 50% como un rendimiento a cinco años arriba de 300%.
a. ¿Cuál es la probabilidad de un rendimiento anual alto y cuál es la probabilidad de un rendimiento a cinco años alto?
b. ¿Cuál es la probabilidad de ambos, un rendimiento anual alto y un rendimiento a cinco años alto? c. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya un rendimiento anual alto ni un rendimiento a cinco años alto?
28. En una encuesta aplicada a los suscriptores de una revista se encontró que en los últimos 12 meses 45.8% habían rentado un automóvil por razones de trabajo, 54% por razones personales y 30% por razones de trabajo y personales.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor haya rentado un automóvil en los últimos 12 meses por razones de trabajo o por razones personales?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor no haya rentado un automóvil en los últimos 12 meses ni por razones de trabajo ni por razones personales?
30. Suponga dos eventos, A y B, y que P(A) 0.50, P(B) 0.60 y P(A B) 0.40.
a. Halle P(A | B).
b. Halle P(B | A).
c. ¿A y B son independientes? ¿Por qué sí o por qué no?
32. Debido al aumento de los costos de los seguros, en Estados Unidos 43 millones de personas no cuentan con un seguro médico (Time, 1 de diciembre de 2003). En la tabla siguiente se muestran datos muestrales representativos de la cantidad de personas que cuentan con seguro médico.
a. Con estos datos elabore una tabla de probabilidad conjunta y úsela para responder las preguntas restantes.
b. ¿Qué indican las probabilidades marginales acerca de la edad de la población de Estados Unidos?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona tomada en forma aleatoria no tenga seguro médico?
d. Si la persona tiene entre 18 y 34 años, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga seguro médico?
e. Si la persona tiene 34 años o más ¿cuál es la probabilidad de que no tenga seguro médico? f. Si la persona no tiene seguro médico, ¿cuál es la probabilidad de que tenga entre 18 y 34 años? g. ¿Qué indica esta información acerca del seguro médico en Estados Unidos?
33. Una muestra de estudiantes de la maestría en administración de negocios, arrojó la siguiente información sobre la principal razón que tuvieron los estudiantes para elegir la escuela en donde hacen sus estudios.
a. Con estos datos elabore una tabla de probabilidad conjunta.
b. Use las probabilidades marginales: calidad de la escuela, costo de la escuela y otras para comentar cuál es la principal razón por la que eligen una escuela.
c. Si es un estudiante de tiempo completo, ¿cuál es la probabilidad de que la principal razón para su elección de la escuela haya sido la calidad de la escuela?
d. Si es un estudiante de medio tiempo, ¿cuál es la probabilidad de que la principal razón para su elección de la escuela haya sido la calidad de la escuela?
e. Si A denota el evento es estudiante de tiempo completo y B denota el evento la calidad de la escuela fue la primera razón para su elección, ¿son independientes los eventos Ay B? Justifique su respuesta.
34. La tabla siguiente muestra las probabilidades de los distintos tipos sanguíneo en la población.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona tenga sangre tipo O?
b. ¿De que tenga sangre Rh ?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea Rh dado que la persona tiene sangre tipo O?
d. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona tenga sangre tipo B dado que es Rh ?
e. ¿Cuál es la probabilidad de que en un matrimonio, los dos sean Rh ?
f. ¿Cuál es la probabilidad de que en un matrimonio, los dos tengan sangre AB?
36. Reggie Miller de los Indiana Pacers tiene el record de la National Basketball Association de más canastas de 3 puntos anotadas en toda una carrera, acertando en 85% de sus tiros (USAToday, 22 de enero de 2004). Suponga que ya casi al final de un juego cometen una falta contra él y le conceden dos tiros.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que acierte en los dos tiros?
b. ¿De que acierte en por lo menos uno de los dos tiros?
c. ¿De que no acierte en ninguno de los dos tiros?
d. Al final de un juego de básquetbol suele ocurrir que cometan faltas contra un jugador del equipo opuesto para detener el reloj del juego. La estrategia usual es cometer una falta contra el peor tirador del otro equipo. Suponga que el centro de los Indiana Pacers acierta 58% de sus tiros. Calcule para él las probabilidades calculadas en los incisos a, b y c y muestre que hacer una falta intencional contra el centro de los Indiana Pacers es mejor que hacerlo contra Reggie Miller.
38. En un estudio de Morgan Stanley Consumer Research se muestrearon hombres y mujeres y se les preguntó qué preferían tomar: agua de botella o una bebida deportiva como Gatorade o Propel Fitness (The Atlanta Journal-Constitution, 28 de diciembre de 2005). Suponga que en el estudio hayan participado 200 hombres y 200 mujeres y que de todos 280 hayan preferido el agua de botella. En el grupo de los que preferían bebidas deportivas, 80 eran hombres y 40 eran mujeres. Sea M el evento el consumidor es hombre W el evento el consumidor es mujer B el evento el consumidor prefiere agua de botella S el evento el consumidor prefiere una bebida deportiva
a. ¿Cuál es la probabilidad de que en este estudio una persona prefiera agua de botella?
b. ¿De que en este estudio una persona prefiera una bebida deportiva?
c. ¿Cuáles son las probabilidades condicionales P(M | S) y P(W | S)?
d. ¿Cuáles son las probabilidades conjuntas P(M S) y P(W S)?
e. Dado que un consumidor es hombre, ¿cuál es la probabilidad de que prefiera una bebida deportiva? f. Ya que un consumidor es mujer, ¿cuál es la probabilidad de que prefiera una bebida deportiva?
g. ¿Depende la preferencia por una bebida deportiva de que el consumidor sea hombre o mujer? Explique usando la información sobre las probabilidades.
39. Las probabilidades previas de los eventos A1 yA2 son P(A1) 0.40 y P(A2) 0.60. Sabe también que P(A1 A2) 0. Suponga que P(B | A1) 0.20 y P(B | A2) 0.05.
a. ¿A1 yA2 son eventos mutuamente excluyentes? Explique.
b. Calcule P(A1 B) y P(A2 B). c. Calcule P(B).
d. Emplee el teorema de Bayes para calcular P(A1 |B) y P(A2 |B).
40. Las probabilidades previas de los eventos A1,A2 y A3 son P(A1) 0.20, P(A2) 0.50 y P(A3) 0.30. Las probabilidades condicionales del evento Bdados los eventos A1,A2 y A3 sonP(B| A1) 0.50, P(B | A2) 0.40 y P(B | A3) 0.30.
a. Calcule P(B A1), P(B A2) y P(B A3).
b. Emplee el teorema de Bayes, ecuación (4.19), para calcular la probabilidad posterior P(A2|B).
c. Use el método tabular para emplear el teorema de Bayes en el cálculo de P(A1 |B), P(A2 |B) y P(A3 |B).
42. Un banco local revisa su política de tarjetas de crédito con objeto de retirar algunas de ellas. En el pasado aproximadamente 5% de los tarjetahabientes incumplieron, dejando al banco sin posibilidad de cobrar el saldo pendiente. De manera que el director estableció una probabilidad previa de 0.05 de que un tarjetahabiente no cumpla. El banco encontró también que la probabilidad de que un cliente que es cumplido no haga un pago mensual es 0.20. Por supuesto la probabilidad de no hacer un pago mensual entre los que incumplen es 1.
a. Dado que un cliente no hizo el pago de uno o más meses, calcule la probabilidad posterior de que el cliente no cumpla.
b. El banco deseará retirar sus tarjetas si la probabilidad de que un cliente no cumpla es mayor que 0.20. ¿Debe retirar el banco una tarjeta si el cliente no hace un pago mensual?
44. La American Council of Education informa que en Estados Unidos 47% de los estudiantes que ingresan en la universidad terminan sus estudios en un lapso de cinco años (Associated Press, 6 de mayo de 2002). Suponga que en los registros de terminación de estudios encuentra que 50% de los estudiantes que terminan sus estudios en cinco años son mujeres y 45% de quienes no terminan sus estudios en cinco años son mujeres. Los estudiantes que no terminan sus estudios en cinco años son estudiantes que han abandonado sus estudios o que están por terminarlos.
a. SeaA1 el estudiante termina sus estudios en cinco años A2 el estudiante no termina sus estudios en cinco W el estudiante es mujer Empleando la información dada, dé las probabilidades siguientes: P(A1), P(A2), P(W | A1) y P(W | A2).
b. ¿Cuál es la probabilidad de que una estudiante termine sus estudios en cinco años?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante termine sus estudios en cinco años?
d. Dados los resultados anteriores, ¿cuál es el porcentaje de mujeres y cuál es el porcentaje de hombres que entran en la universidad?
46. En un sondeo se les pidió a 1035 adultos su opinión respecto a los negocios (BusinessWeek, 11 de septiembre de 2000). Una de las preguntas era: “¿Cómo califica usted a las empresas estadounidenses respecto a la calidad de los productos y competitividad a nivel mundial?” Las respuestas fueron: excelentes, 18%; bastante buenas, 50%; regulares, 26%; malas, 5% y no saben o no contestaron 1%. a. ¿Cuál es la probabilidad de que un interrogado considere a las empresas estadounidenses bastante buenas o excelentes? b. ¿Cuántos de los interrogados consideraron malas a las empresas estadounidenses? c. ¿Cuántos de los interrogados dijo no saber o no contestó?
48. Aprincipios de 2003, el presidente de Estados Unidos propuso eliminar los impuestos a los dividendos de los accionistas con el argumento de que era un doble impuesto. Las corporaciones pagan impuestos sobre las ganancias que luego son repartidas como dividendos. En un sondeo realizado a 671 estadounidenses, Techno Metrica Market Intelligence halló que 47% estaban a favor de la propuesta, 44% se oponían a ella y 9% no estaban seguros (Investor’s Business Daily, 13 de enero de 2003). Al analizar las respuestas de acuerdo con la pertenencia a los partidos políticos, se encontró en el sondeo que 29% de los demócratas estaban a favor, 64% de los republicanos estaban a favor y 48% de los independientes estaban a favor.
a. ¿Cuántos de los encuestados estuvieron a favor de la eliminación de los impuestos a los dividendos?
b. ¿Cuál es la probabilidad condicional de que una persona esté a favor de la propuesta dado que es demócrata?
c. ¿Es la afiliación partidaria independiente de que una persona esté a favor de la propuesta?
d. Si se supone que las respuestas de las personas estuvieron de acuerdo con sus propios intereses, ¿qué grupo se beneficiará más con la aceptación de la propuesta?
50. En una encuesta por teléfono para determinar la opinión de los televidentes respecto a un nuevo programa de televisión se obtuvieron las opiniones siguientes:
56. Cooper Realty es una empresa inmobiliaria pequeña que se encuentra en Albany, Nueva York y que se especializa en la venta de casas residenciales. Últimamente quiso saber cuál era la posibilidad de que una de las casas que tiene en venta se vendiera en menos de un determinado número de días. Mediante un análisis de 800 casas vendidas por la empresa en los años anteriores se obtuvieron los datos siguientes.
a. Si A se define como el evento de que la casa esté en venta más de 90 días antes de ser vendida, estime la probabilidad de A.
b. Si B se define como el evento de que el precio inicial sea menor que $150 000, estime la probabilidad de B.
c. ¿Cuál es la probabilidad de A B?
d. Suponga que se acaba de firmar un contrato para vender una casa en un precio inicial menor que $150 000, ¿cuál es la probabilidad de que a Cooper Realty le tome menos de 90 días venderla?
e. ¿Los eventos A y B son independientes?
58. El departamento de recolección de impuestos de Estados Unidos en Dallas, preocupado por las declaraciones de impuestos fraudulentas, cree que la probabilidad de hallar una declaración de impuestos fraudulenta, dado que la declaración contiene deducciones que exceden el estándar, es 0.20. Dado que las deducciones no exceden el estándar, la probabilidad de una declaración fraudulenta disminuye a 0.02. Si 8% de las declaraciones exceden el estándar de deducciones, ¿cuál es la mejor estimación del porcentaje de declaraciones fraudulentas?
60. Las empresas que hacen negocios por Internet suelen obtener información acerca del visitante de un sitio Web a partir de los sitios visitados previamente. El artículo “Internet Marketing” (Interfaces, marzo/abril de 2001) describe cómo los datos sobre el flujo de clics en los sitios Web visitados se usan junto a un modelo de actualización Bayesiano para determinar el género de una persona que visita la Web. ParFore creó un sitio Web para la venta de equipo y ropa para golf. A los directivos de la empresa les gustaría que apareciera una determinada oferta para los visitantes del sexo femenino y otra oferta determinada para los visitantes del sexo masculino. En una muestra de visitas anteriores al sitio Web se sabe que 60% de las personas que visitan el sitio son hombres y 40% mujeres.
a. ¿Cuál es la probabilidad previa de que el siguiente visitante del sitio Web sea mujer?
b. Suponga que el actual visitante de ParFore.com visitó previamente el sitio de la Web de Dillard, y que es tres veces más probable que ese sitio sea visitado por mujeres que por hombres. ¿Cuál es la probabilidad revisada de que el visitante actual de ParFore.com sea mujer? ¿Desplegaría la oferta que está dirigida más a hombres o a mujeres?
