Y=25 + 10X1 + 8X2
donde
X1=inversión en inventario (en miles de $)
X2=gasto en publicidad (en miles de $)
y=ventas (en miles de $)
a. Estime las ventas si la inversión en inventario es de $15 000 y el presupuesto para publicidad es de $10 000. b. Interprete b1 y b2 en esta ecuación de regresión estimada.
5. El dueño de Showtime Movie Theater, Inc., desea estimar el ingreso bruto semanal en función de los gastos en publicidad. Acontinuación se presentan los datos históricos de 10 semanas
a. Obtenga una ecuación de regresión estimada en la que el monto gastado en publicidad en televisión sea la variable independiente. b. Obtenga una ecuación de regresión estimada en la que los montos gastados en publicidad en televisión y en periódicos sean las variables independientes. c. ¿Es el coeficiente correspondiente a los gastos de publicidad en televisión de la ecuación de regresión estimada del inciso a) igual al del inciso b)? Interprete este coeficiente en cada caso.
d. ¿Cuál es el ingreso semanal bruto en una semana en la que se gastan $3500 en publicidad en televisión y $1800 en publicidad en periódicos?
6. En el béisbol, el éxito de un equipo se suele considerar en función del desempeño en bateo y en lanzamiento del equipo. Una medida del desempeño en el bateo es la cantidad de cuadrangulares que anota el equipo y una medida del desempeño en lanzamiento es el promedio de carreras ganadas por el equipo que lanza. En general, se cree que los equipos que anotan más cuadrangulares (home run) y tienen un promedio menor de carreras ganadas ganan un mayor porcentaje de juegos. Los datos siguientes pertenecen a 16 equipos que participaron en la temporada de la Liga Mayor de Béisbol de 2003; se da la proporción de juegos ganados, la cantidad de cuadrangulares del equipo (HR, por sus siglas en inglés) y el promedio de carreras ganadas (ERA, por sus siglas en inglés) (www.usatoday.com, 17 de enero de 2004).
a. Obtenga la ecuación de regresión estimada para predecir la proporción de juegos ganados en función de la cantidad de cuadrangulares. b. Obtenga la ecuación de regresión estimada para predecir la proporción de juegos ganados en función del promedio de carreras ganadas por los miembros del equipo que lanza. c. Obtenga la ecuación de regresión estimada para predecir la proporción de juegos ganados en función de la cantidad de cuadrangulares y del promedio de carreras ganadas por los miembros del equipo que lanza. d. En la temporada de 2003, San Diego ganó sólo el 39.5% de sus juegos, siendo el más bajo de la liga nacional. Para mejorar para el año siguiente, el equipo trató de adquirir nuevos jugadores que hicieran que la cantidad de cuadrangulares aumentara a 180 y que el promedio de carreras ganadas por el equipo que lanza disminuyera a 4.0. Use la ecuación de regresión estimada obtenida en el inciso c) para estimar el porcentaje de juegos que ganaría San Diego si tuviera 180 cuadrangulares y su promedio de carreras ganadas fuera 4.0.
8. En la tabla siguiente se da el rendimiento anual, la evaluación de la seguridad (0 = de alto riesgo, 10 segura) y el coeficiente de gastos anuales de 20 fondos extranjeros (Mutual Funds, marzo de 2000).
a. Obtenga la ecuación de regresión estimada que relaciona el rendimiento anual con la evaluación de la seguridad y con el coeficiente de gastos anuales. b. Estime el rendimiento anual de una empresa cuya evaluación de seguridad es 7.5 y el coeficiente de gastos anuales es 2.
10. La Nacional Basketball Association (NBA) lleva un registro de diversos datos estadísticos de cada equipo. Cuatro de estos datos estadísticos son la proporción de juegos ganados (PCT), la proporción de anotaciones de campo (FG%), la proporción de tiros de tres puntos hechos por el equipo contrario (Opp 3 Pt%) y la cantidad de recuperaciones hechas por el equipo contrario (Opp TO). Los siguientes datos muestran los valores de estas estadísticas para los 29 equipos de la NBAen una fracción de la temporada 2004 (www.nba.com, enero 3, 2004)
a. Obtenga una ecuación de regresión estimada que sirva para predecir la proporción de juegos ganados dada la proporción de anotaciones de campo del equipo. b. Interprete la pendiente de la ecuación de regresión estimada obtenida en el inciso a). c. Obtenga una ecuación de regresión estimada que sirva para predecir la proporción de juegos ganados dada la proporción de anotaciones de campo del equipo, la proporción de tiros de tres puntos hechos por el equipo contrario y la proporción de recuperaciones hechas por el equipo contrario. d. Analice las implicaciones prácticas de la ecuación de regresión estimada obtenida en el inciso c). e. Estime la proporción de juegos ganados por un equipo para el que los valores de las tres variables independientes son: FG% 0.45, Opp 3 Pt% 0.34 y Opp TO 17.
12. En el ejercicio 2, se presentaron 10 observaciones dando los valores de la variable dependiente y y de dos variables independientes x1 y x2; con estos datos STC = 15 182.9 y SCR = 14 052.2.
a. Calcule R2.
b. Calcule R2a.
c. ¿Explica la ecuación de regresión estimada una proporción grande de la variabilidad de los datos? Explique.
14. En el ejercicio 4, se dio la siguiente ecuación de regresión estimada, la cual relacionaba las ventas con la inversión en inventario y los gastos de publicidad.
y=25 + 10X1+ 8X2
Los datos empleados para desarrollar este modelo eran los datos de 10 tiendas; con estos datos STC 16 000 t SCR y 12 000. a. Calcule R2 para la ecuación de regresión estimada. b. Calcule . c. ¿Parece explicar este modelo una gran cantidad de la variabilidad de los datos? Explique.
15. En el ejercicio 5, el propietario de Showtime Movie Theater, Inc. empleó el análisis de regresión múltiple para predecir el ingreso bruto (y) en función de la publicidad en televisión (x1) y de la publicidad en los periódicos (x2). La ecuación de regresión estimada fue
y=83.2 + 2.29Xq +1.30X2
La solución obtenida con un paquete de software proporcionó STC= 25.2 y SCR= 23.435. a. Calcule e interprete R2 y . b. Cuando la publicidad en televisión era la variable independiente, R2= 0.653 y Ra2= 0.595. ¿Prefiere los resultados de la regresión múltiple? Explique.
16. En el ejercicio 6 se presentaron los datos siguientes de 16 equipos de la Liga mayor de béisbol de 2003: proporción de juegos ganados, cantidad de cuadrangulares anotados por el equipó y promedio de carreras ganadas por el equipo que lanza (http: //www.usatoday.com, 7 de enero de 2004). a. ¿Proporciona un buen ajuste la ecuación de regresión estimada que para predecir la proporción de juegos ganados tiene como única variable independiente la cantidad de cuadrangulares? Explique. b. Analice la ventaja de usar tanto la cantidad de cuadrangulares como el promedio de carreras ganadas para predecir la proporción de juegos ganados.
18. Vuelva al ejercicio 10, en el que se presentaron varios datos estadísticos de 29 equipos de la Nacional Basketball Association en parte de la temporada de 2004 (www.nba.com, 3 de enero de 2004). a. En el inciso c) del ejercicio 10, se obtuvo una ecuación de regresión estimada que proporcionaba la proporción de juegos ganados dado el porcentaje de anotaciones de campo hechas por el equipo, la proporción de tiros de tres puntos hechas por el equipo contrario y la cantidad de recuperaciones (turnover) hechas por el equipo contrario. ¿Cuáles son los valores de R2 y Ra2? b. ¿Proporciona esta ecuación de regresión estimada un buen ajuste a los datos?
19. En el ejercicio 1 se presentó la siguiente ecuación de regresión estimada basada en 10 observaciones.
y = 29.1270 + 0.5906x1+ 0.4980x2
Aquí STC = 6724.125, SCR = 6216.375, Sb1= 0.0813 y Sb2= 0.0567.
a. Calcule CMR y CME b. Calcule F y realice la prueba F adecuada. Use α = 0.05. c. Realice una prueba t para la significancia de b1. Use α = 0.05. d. Realice una prueba t para la significancia de b2. Use α = 0.05.
20. Consulte los datos presentados en el ejercicio 2. La ecuación de regresión estimada de estos datos es
y = 18.4 + 2.01x1+ 4.74x2
Aquí STC = 15 182, SCR = 14 052. 2, Sb1= 0.2471.
a. Realice una prueba para ver si hay una relación significativa entre x1, x2 y y. Use α 0.05. b. ¿Es significativo 1? Use α 0.05. c. ¿Es significativo 2? Use α 0.05.
22. En el ejercicio 4 se dio la siguiente ecuación de regresión estimada que relacionaba las ventas con la inversión en inventario y los gastos de publicidad.
y = 25 + 10x1+ 8x2
Los datos empleados para obtener el modelo provinieron de un estudio realizado a 10 tiendas; para estos datos STC 16 000 y SCR 12 000. a. Calcule SCE, CME y CMR. b. Use la prueba F y 0.05 como nivel de significancia para determinar si existe una relación entre las variables.
23. Véase el ejercicio 5.
a. Use α 0.01 para probar las hipótesis
b. Use α 0.05 para probar la significancia de 1 ¿Debe x1 ser eliminada del modelo? c. Use α 0.05 para probar la significancia de 2 ¿Debe x2 ser eliminada del modelo?
24. Véanse los datos del ejercicio 6. Emplee la cantidad de cuadrangulares del equipo y el promedio de carreras ganadas por el equipo que lanza para predecir la proporción de juegos ganados. a. Use la prueba F para determinar la significancia global de la relación. ¿Cuál es la conclusión empleando 0.05 como nivel de significancia? b. Use la prueba t para determinar la significancia de cada una de las variables independientes. ¿Cuál es la conclusión empleando 0.05 como nivel de significancia?
26. En el ejercicio 10 se obtuvo una ecuación de regresión estimada que da la proporción de juegos ganados cuando se conocía la proporción de anotaciones de campo hechas por el equipo, la proporción de tiros de tres puntos hechas por el equipo contrario y la cantidad de recuperaciones realizadas por el equipo contrario. a. Emplee la prueba F para determinar la significancia global de la relación. Empleando como nivel de significancia 0.05, ¿cuál es la conclusión? b. Emplee la prueba t para determinar la significancia de cada una de las variables independientes. Empleando como nivel de significancia 0.05, ¿cuál es la conclusión?
28. Véanse los datos del ejercicio 2. La ecuación de regresión estimada para estos datos es
y = 18.4+ 2.01x1 + 4.74x2
a. Obtenga un intervalo de 95% de confianza para el valor medio de ycuando x1 = 45 y x2= 15.
b. Obtenga un intervalo de predicción de 95% para el valor de y cuando x1 = 45 y x2= 15.
29. En el ejercicio 5, el propietario de Showtime Movie Theater, Inc. empleó el análisis de regresión múltiple para predecir el ingreso bruto (y) en función de la publicidad en televisión (x1) y de la publicidad en periódicos (x2). La ecuación de regresión estimada fue
y= 83.2+ 2.29x1+ 1.30x2
a. ¿Cuál será el ingreso bruto esperado en una semana en la que se gastan $3500 en publicidad en televisión (x1 3.5) y $1800 en publicidad en periódicos (x2 1.8)? b. Dé un intervalo de 95% de confianza para el ingreso medio de todas las semanas en las que los gastos sean los indicados en el inciso a). c. Dé un intervalo de predicción de 95% para la media del ingreso de una semana en las que los gastos sean los indicados en el inciso a).
30. En el ejercicio 9 se obtuvo una ecuación de regresión estimada que relacionaba la máxima velocidad de una lancha con su manga y sus caballos de fuerza. a. Dé un intervalo de 95% de confianza para la media de la velocidad máxima de una lancha cuya manga sea 85 y cuyo motor tenga 330 caballos de fuerza.
b. La manga de la Svfara SV609 es de 85 pulgadas y su motor tiene 330 caballos de fuerza. Dé un intervalo de 95% de confianza para la media de la velocidad máxima de la Svfara 609.
32. Considere un estudio de regresión en el que intervienen una variable dependiente y, una variable independiente cuantitativa x1 y una variable cualitativa de dos niveles (nivel 1 y nivel 2). a. Dé la ecuación de regresión múltiple que relaciona x1 y la variable cualitativa con y. b. ¿Cuál es el valor esperado de y que corresponde al nivel 1 de la variable cualitativa? c. ¿Cuál es el valor esperado de y que corresponde al nivel 2 de la variable cualitativa? d. Interprete los parámetros de la ecuación de regresión.
34. El administrador propuso el siguiente modelo de regresión para predecir las ventas en un punto de venta de comida rápida.
donde
Se obtuvo la siguiente ecuación de regresión estimada con los datos de 20 puntos de venta.
y = 10.1 - 4.2x1 + 6.8x2 + 15.3x3
a. ¿Cuál es la cantidad esperada de ventas atribuible a la ventana para conductores? b. Pronostique las ventas de un negocio que tiene dos competidores y una población de 8000 a no más de una milla y ventana para los conductores. c. Pronostique las ventas de un negocio que tiene un competidor y una población de 3000 a no más de una milla y ventana para los conductores.
36. Este problema es una extensión del ejercicio 35. a. Obtenga la ecuación de regresión estimada que permita predecir el tiempo que se requiere para una reparación dados los meses transcurridos desde la última reparación, el tipo de reparación y la persona que realizó la reparación. b. Empleando como nivel de significancia 0.05, realice una prueba para ver si la ecuación de regresión estimada obtenida en el inciso a) representa una relación significativa entre las variables independientes y la variable dependiente. c. ¿Es estadísticamente significativo agregar la variable x3, la persona que realizó la reparación? Use α 0.05. ¿Qué explicación puede dar para los resultados observados?
38. Un estudio realizado a lo largo de 10 años por la American Heart Association proporcionó datos sobre la relación que tienen la edad, la presión sanguínea y el fumar sobre el riesgo de sufrir un infarto. Los datos que se dan a continuación se obtuvieron como parte de este estudio. El riesgo se interpreta como la probabilidad (multiplicada por 100) de que el paciente sufra un infarto en los próximos 10 años. Para fumar, defina una variable ficticia que tome el valor 1 si la persona es fumadora y el valor 0 si no es fumadora.
a. Obtenga la ecuación de regresión estimada que relaciona el riesgo de infarto con la edad, la presión sanguínea y el fumar o no fumar. b. ¿Es el fumar un factor significativo para el riesgo de infarto? Explique. Use α = 0.05. c. ¿Cuál es la probabilidad de que Art Apeen sufra un infarto en los próximos 10 años, si tiene 68 años, fuma y su presión sanguínea es 175? ¿Qué recomendará el médico hacer a este paciente?
39. Acontinuación se dan datos para las variables x y y.
a. Obtenga una ecuación de regresión estimada para estos datos. b. Grafique los residuales estandarizados contra . ¿Parece haber alguna observación atípica en este conjunto de datos? Explique. c. Calcule los residuales eliminados estudentizados de estos datos. Empleando como nivel de significancia 0.05, ¿puede clasificarse cualquiera de estas observaciones como observación atípica? Explique.
40. Acontinuación se dan datos para las variables x y y.
a. Obtenga una ecuación de regresión estimada para estos datos. b. Calcule los residuales eliminados estudentizados de estos datos Empleando como nivel de significancia 0.05, ¿puede clasificarse cualquiera de estas observaciones como observación atípica? Explique. c. Calcule los valores de influencia de estos datos. ¿Parece haber alguna observación influyente en estos datos? Explique. d. Calcule la medida de la distancia de Cook de estos datos. ¿Es alguna de las observaciones una observación influyente? Explique.
41. En el ejercicio 5 se presentaron los datos siguientes sobre el ingreso semanal bruto y publicidad tanto en televisión como en periódicos de Showtime Movie Theater.
a. Dé una ecuación de regresión estimada que relacione el ingreso semanal bruto con los gastos en publicidad en televisión y periódicos. b. Grafique los residuales estandarizados contra . ¿Respalda la gráfica de residuales las suposiciones acerca de ? Explique. c. Revise que no haya observaciones atípicas en estos datos. ¿Aqué conclusión llega? d. ¿Hay alguna observación influyente?
42. En los datos siguientes se presenta peso en vacío, caballos de fuerza y velocidad en ¹⁄₄ de milla de 10 automóviles deportivos y GT. Supóngase que se tiene también el precio de cada uno de estos automóviles. Todo el conjunto de datos es el siguiente.
a. Obtenga la ecuación de regresión estimada en la que se emplee precio y caballos de fuerza para predecir la velocidad en ¹⁄₄ de milla. b. Grafique los residuales estandarizados contra . ¿Respalda la gráfica de residuales las suposiciones respecto a ? Explique. c. Verifique si hay observaciones atípicas. ¿Aqué conclusión llega? d. ¿Hay alguna observación influyente? Explique.
44. Vaya al ejemplo de Simmons Stores presentado en esta sección. La variable dependiente es y =1 si el cliente usó el cupón y y 0 si no lo usó. Supóngase que la única información de que se dispone para predecir si un cliente usará o no el cupón es el estatus del cliente respecto a la posesión de una tarjeta de crédito de la empresa, que es x 1 si el cliente tiene tarjeta de crédito de Simmons y x 0 si no es así.
a. Dé la ecuación de regresión logística que relaciona x y y.
b. ¿Cuál es la interpretación de E(y) cuando x 0?
c. Empleando los datos de Simmons presentados en la tabla 15.11, use Minitab para calcular el logit estimado.
d. Empleando el logit estimado obtenido en el inciso c), obtenga una estimación de la probabilidad de que usen el cupón los clientes que no tienen tarjeta de crédito de Simmons y una estimación de la probabilidad de que usen el cupón los clientes que no tienen tarjeta de crédito de Simmons.
e. De la estimación del cociente de posibilidades. ¿Cuál es su interpretación?
46. El Community Bank desea aumentar la cantidad de clientes a los que les depositan directamente su nómina. El gerente está considerando una campaña que requerirá que cada gerente de sucursal llame a cada cliente que no reciba directamente su nómina. Como incentivo para aceptar recibir directamente su nómina, se les ofrecerá revisión gratuita de su cuenta durante dos años. Debido al tiempo y a los costos de esta campaña, el gerente desea que esta campaña se dirija a aquellos clientes que tengan la mayor probabilidad de aceptar recibir directamente su nómina. El gerente piensa que el saldo promedio mensual en la cuenta de cheques del cliente puede ser un predictor útil para determinar si un cliente aceptará o no recibir directamente su nómina. Para investigar la relación entre estas dos variables, Community Bank prueba la nueva campaña utilizando una muestra de cuentas de cheques de 50 clientes que actualmente no reciben directamente su nómina. En los datos muestrales se presenta el saldo mensual promedio en la cuenta de cheques (en miles de dólares) y si el cliente aceptó recibir directamente el depósito de su nómina (1 significa aceptó el depósito directo de su nómina y 0 significa el cliente no aceptó el depósito directo de su nómina). Estos datos se encuentran en el archivo Bank del disco compacto; a continuación se presenta parte de estos datos.
a. Dé la ecuación de regresión logística que relaciona x y y. b. Empleando los datos de Community Bank, use Minitab para calcular la ecuación de regresión logística estimada. c. Realice una prueba de significancia empleando el estadístico de prueba G. Use α 0.05.
d. Estime la probabilidad de que los clientes cuyo saldo mensual promedio sea $1000 acepten recibir directamente el depósito de su nómina. e. Supóngase que Community Bank desea contactar únicamente a los clientes para los que la probabilidad de aceptar recibir directamente su nómina sea de 0.50 o mayor. ¿Cuál es el saldo promedio requerido para tener esta probabilidad? f. Dé la estimación del cociente de posibilidades. ¿Cuál es su interpretación?
48. Consumer Report le realizó una prueba de sabor a 19 marcas de chocolates. En los datos a continuación se da el precio por porción, en base al tamaño de porción de la FDAque es de 1.4 onzas, así como una evaluación de la calidad de los 19 chocolates tomados para la prueba (Consumer Report, febrero 2002).
Suponga que desea determinar si los productos que son más caros son mejor evaluados. Para los propósitos de este ejercicio, emplee la siguiente variable binaria dependiente.
y = 1 si la evaluación de la calidad fue excelente o muy buena y
y = 0 si la evaluación de la calidad fue buena o regular.
a. Dé la ecuación de regresión logística que relaciona x = precio por porción con y. b. Use Minitab para calcular el logit estimado. c. Use el logit estimado que obtuvo en el inciso b) para obtener una estimación de la probabilidad de que la evaluación de un chocolate cuyo precio por porción es $4.00 sea muy bueno o excelente. d. Dé la estimación del cociente de posibilidades. Dé su interpretación.
52. En el ejercicio 49, se vio que el departamento de admisión de Clearwater Collage obtuvo la siguiente ecuación de regresión estimada en la que relacionaba el promedio final obtenido en la universidad (GPA) con la puntuación de un estudiante en el área de matemáticas del examen de admisión a la universidad (SAT) y con su promedio final (GAP) en bachillerato.
y = - 1.41+ 0.0235x1 +0.00486x2
donde
x1= promedio fi nal en el bachillerato
x2=puntuación en el área de matemáticas del examen de admisión (SAT)
y= promedio final en la universidad
Acontinuación se presentan los resultados, incompletos, obtenidos con Minitab.
a. Calcule las cantidades faltantes en estos resultados. b. Calcule F y empleando como nivel de significancia a = 0.05 pruebe si existe una relación significativa. c. ¿Proporciona la ecuación de regresión estimada un buen ajuste a los datos? Explique. d. Use la prueba t y α 0.05 para probar H0: B1= 0 y H0:B2= 0.
54. La revista SmartMoney evaluó 65 zonas metropolitanas para determinar si el valor de las casas (home values) estaba cambiando (are headed). La puntuación para una ciudad ideal era 100 y significaba que todos los factores medidos eran tan favorables como era posible. Zonas cuya puntuación era 60 o más, eran zonas en las que era posible una revalorización de los precios; zonas cuya puntuación era menor a 50 eran zonas que podrían ver una disminución en el valor de la vivienda. Dos de los factores evaluados fueron resistencia a la recesión y accesibilidad de la zona. Estos dos factores se evaluaron empleando una escala de 0 (evaluación más baja) a 10 (evaluación más alta). Acontinuación se presentan los datos obtenidos en una muestra de 20 ciudades evaluadas por SmartMoney (SmartMoney, febrero de 2002).
a. Dé una ecuación de regresión estimada que sirva para dar la puntuación conociendo la resistencia a la recesión. Empleando como nivel de significancia 0.05, pruebe la significancia de la relación b. ¿Proporciona la ecuación obtenida en el inciso a) un buen ajuste a los datos? Explique. c. Obtenga una ecuación de regresión estimada que sirva para predecir la puntuación a partir de la resistencia a la recesión y la accesibilidad. Empleando como nivel de significancia 0.05 pruebe la significancia global.
56. La Fuel Economy Guide (guía de economía de combustible) del Departamento de energía de Estados Unidos proporciona datos sobre el rendimiento del combustible en automóviles y camiones. Acontinuación se presenta una parte de los datos obtenidos para 35 camiones furgonetas estándar producidos por Chevrolet y General Motors (www.fueleconomy.gov, 21 de marzo de 2003). En la columna titulada tracción se indica si el vehículo tiene tracción en dos ruedas (2WD) o tracción en cuatro ruedas (4WD). En la columna titulada desplazamiento se da el desplazamiento del motor en litros, en la columna titulada cilindros se especifica la cantidad de cilindros que tiene el motor, y en la columna titulada transmisión se indica si la furgoneta tiene transmisión automática o manual. En la columna titulada ciudad mpg se da el rendimiento de combustible en ciudad, en millas por galón (mpg).
a. Dé una ecuación de regresión estimada que sirva para predecir el consumo de combustible en la ciudad cuando se conoce el desplazamiento del motor. Haga una prueba de significancia empleando α 0.05. b. Agregue la variable ficticia Tracción4, que toma el valor 0 si la furgoneta tiene tracción en dos ruedas y 1 si tiene tracción en cuatro ruedas. Obtenga una ecuación de regresión estimada que sirva para predecir el consumo de combustible en ciudad cuando se conoce el desplazamiento del motor y el valor de la variable ficticia Tracción4. c. Use α 0.05 para determinar si la variable ficticia agregada en el inciso b) es significativa. d. Agregue la variable ficticia OchoCil, que toma el valor 0 si la furgoneta tiene motor de seis cilindros y el valor 1 si la furgoneta tiene motor de ocho cilindros. Obtenga la ecuación de regresión estimada que sirva para predecir el rendimiento de combustible en ciudad cuando se conoce el desplazamiento del motor y el valor de las variables ficticias Tracción4 y OchoCil. e. Pruebe la significancia global y la significancia de cada una de las variables en la ecuación obtenida en el inciso d). Use α 0.05.
