2. La variable aleatoria x está distribuida uniformemente entre 10 y 20. a. Dé la gráfica de la función de densidad de probabilidad. b. Calcule P(x
15). c. Calcule P(12 x 18). d. Calcule E(x). e. Calcule Var(x).
4. La mayoría de los lenguajes de computadora tienen una función para generar números aleatorios. En Excel, la función ALEATORIO se usa para generar números aleatorios entre 0 y 1. Si x denota un número aleatorio generado mediante ALEATORIO, entonces xes una variable aleatoria continua, cuya función de densidad de probabilidad es la siguiente.
a. Haga la gráfica de la función de densidad de probabilidad. b. ¿Cuál es la probabilidad de generar un número aleatorio entre 0.25 y 0.75? c. ¿De generar un número aleatorio menor o igual que 0.30? d. ¿De generar un número aleatorio mayor o igual que 0.60? e. Genere 50 números aleatorios ingresando ALEATORIO() en 50 celdas de una hoja de cálculo de Excel. f. Calcule la media y la desviación estándar de los números del inciso e.
6. En las botellas de un detergente líquido se indica que el contenido es de 12 onzas por botella. En la operación de producción se llenan las botellas uniformemente de acuerdo con la siguiente función de densidad de probabilidad
a. ¿Cuál es la probabilidad de que el contenido de una botella esté entre 12 y 12.05 onzas? b. ¿De que el contenido de una botella sea 12.02 onzas o más? c. En el control de calidad se acepta que una botella sea llenada con más o menos 0.02 onzas de lo indicado en la etiqueta. ¿Cuál es la probabilidad de que una de las botellas de detergente no satisfaga estos estándares?
10. Dibuje la gráfica de la distribución normal estándar. Etiquete el eje horizontal con los valores 3, 2, 1, 0, 1, 2 y 3. Después use la tabla de probabilidades de la distribución normal estándar que se encuentra en el forro interior del libro para calcular las probabilidades siguientes. a. P(z <= 1.5) b. P(z<= 1) c. P(1<= z<= 1.5) d. P(0<z<2.5)
12. Dado que z es la variable normal estándar, calcule las probabilidades siguientes. a. P(0 <= z <= 0.83) b. P(- 1.57<= z<= 0) c. P(z > 0.44) d. P(z>=- 0.23) e. P(z<1.20) f. P(z<= 0.71)
13. Dado que z es la variable normal estándar, calcule las probabilidades siguientes. a. P(- 1.98 <= z<= 0.49) b. P(0.52<= z<= 1.22) c. P-( 1.75<= z<= - 1.04)
14. Dado que z es la variable normal estándar, encuentre z en cada una de las situaciones siguientes. a. El área a la izquierda de z es 0.9750. b. El área entre 0 y z es 0.4750. c. El área a la izquierda de z es 0.7291. d. El área a la derecha de z es 0.1314. e. El área a la izquierda de z es 0.6700. f. El área a la derecha de z es 0.3300.
15. Dado que z es la variable normal estándar, halle z en cada una de las situaciones siguientes. a. El área a la izquierda de z es 0.2119 b. El área entre -z y z es 0.9030. c. El área entre - z y z es 0.2052. d. El área a la izquierda de z es 0.9948. e. El área a la derecha de z es 0.6915. 16. Dado que z es la variable normal estándar, encuentre z en cada una de las situaciones siguientes. a. El área a la derecha de z es 0.01 b. El área a la derecha de z es 0.025. c. El área a la derecha de z es 0.05. d. El área a la derecha de z es 0.10
18. El precio promedio de las acciones que pertenecen a S&P500 es de $30 y la desviación estándar es $8.20 (BusinessWeek, Special Annual Issue, primavera de 2003). Suponga que los precios de las acciones están distribuidos normalmente. a. ¿Cuál es la probabilidad de que el precio de las acciones de una empresa sea por lo menos de $40? b. ¿De que el precio de las acciones de una empresa no sea mayor a $20? c. ¿De cuánto deben ser los precios de las acciones de una empresa para que esté entre las 10% mejores?
22. La tasa de remuneración media por hora para administrativos financieros en una determinada región es $32.62 y la desviación estándar es $2.32 (Bureau of Labor Statistics, septiembre de 2005). Suponga que estas tasas de remuneración están distribuidas normalmente. a. ¿Cuál es la probabilidad de que un directivo financiero tenga una remuneración entre $30 y $35 por hora? b. ¿Qué tan alta debe ser la remuneración por hora para que un directivo financiero tenga un pago 10% superior? c. ¿Cuál es la probabilidad de que la remuneración por hora de un directivo financiero sea menos de $28 por hora?
24. El volumen de negociaciones en la Bolsa de Nueva York es más intenso en la primera media hora (en la mañana temprano) y la última media hora (al final de la tarde) de un día de trabajo. Acontinuación se presentan los volúmenes (en millones de acciones) de 13 días de enero y febrero
La distribución de probabilidad de los volúmenes de negociaciones es aproximadamente normal. a. Calcule la media y la desviación estándar a usar como estimaciones de la media y de la desviación estándar de la población. b. ¿Cuál es la probabilidad de que, en un día elegido al azar, el volumen de negociaciones en la mañana temprano sea superior a 180 millones de acciones? c. ¿Cuál es la probabilidad de que, en un día elegido al azar, el volumen de negociaciones en la mañana temprano sea superior a 230 millones de acciones? d. ¿Cuántas acciones deberán ser negociadas para que el volumen de negociaciones en la mañana temprano de un día determinado pertenezca al 5% de los días de mayor movimiento?
26. En una distribución de probabilidad binomial con p 0.20 y n 100. a. ¿Cuál es la media y la desviación estándar? b. ¿En esta situación las probabilidades binomiales pueden ser aproximadas por la distribución de probabilidad normal? Explique. c. ¿Cuál es la probabilidad de exactamente 24 éxitos? d. ¿Cuál es la probabilidad de 18 a 22 éxitos? e. ¿Cuál es la probabilidad de 15 o menos éxitos?
28. El presidente Bush propuso eliminar los impuestos sobre los dividendos que pagan los accionistas debido a que esto resulta en un doble pago de impuestos. Las ganancias que se usan para pagar los dividendos ya han sido grabadas. En un sondeo sobre este tema se encontró que 47% de los estadounidenses estaban a favor de esta propuesta. La posición de los partidos políticos era 64% de los republicanos y 29% de los demócratas a favor de la propuesta (Investor´s Business Daily, 13 de enero de 2003). Suponga que 250 estadounidenses se reúnen para una conferencia acerca de la propuesta. a. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos la mitad del grupo esté a favor de la propuesta? b. Más tarde se entera de que en el grupo hay 150 republicanos y 100 demócratas. Ahora, ¿cuál es su estimación del número esperado a favor de la propuesta? c. Ahora que conoce la composición del grupo, ¿cree que un conferencista a favor de la propuesta sea mejor recibido que uno que esté en contra de la propuesta?
30. Cuando usted firma un contrato para una tarjeta de crédito, ¿lee cuidadosamente el contrato? En un sondeo FindLaw.com le preguntó a las personas “¿Qué tan cuidadosamente lee usted un contrato para una tarjeta de crédito?” Los hallazgos fueron que 44% leen cada palabra, 33% leen lo suficiente para entender el contrato, 11% sólo le echa una mirada y 4% no lo leen en absoluto. a. En una muestra de 500 personas ¿cuántas esperaría usted que respondan que leen cada palabra de un contrato para una tarjeta de crédito? b. En una muestra de 500 personas ¿cuál es la probabilidad de que 200 o menos digan que leen cada palabra de un contrato para una tarjeta de crédito? c. En una muestra de 500 personas ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos 15 digan que no leen en absoluto un contrato para una tarjeta de crédito?
32. Considere la siguiente función de densidad de probabilidad exponencial.
a. Halle P(x <=6). b. Encuentre P(x <= 4). c. Halle P(x >= 6). d. Encuentre P(4<= x <= 6)
33. Considere la siguiente función de densidad de probabilidad exponencial
a. Dé la fórmula para hallar P(x x0).. b. Halle P(x 2). c. Encuentre P(x 3). d. Halle P(x 5). e. Halle P(2 x 5)
34. El tiempo requerido para pasar por la inspección en los aeropuertos puede ser molesto para los pasajeros. El tiempo medio de espera en los periodos pico en el Cincinnnati/Northern Kentucky Internacional Airport es de 12.1 minutos (The Cincinnati Enquirer, 2 de febrero de 2006). Suponga que los tiempos para pasar por la inspección de seguridad tienen una distribución exponencial. a. ¿Cuál es la probabilidad de que durante los periodos pico se requieran 10 minutos para pasar la inspección de seguridad? b. ¿De que durante los periodos pico se requieran más de 20 minutos para pasar la inspección de seguridad? c. ¿De que durante los periodos pico se requieran entre 10 y 20 minutos para pasar la inspección de seguridad? d. Son las 8 de la mañana (periodo pico) y usted se acaba de formar en la fila para la inspección de seguridad. Para alcanzar su avión, tiene que estar en la puerta de arribo en no más de 30 minutos. Si necesitara 12 minutos una vez pasada la inspección de seguridad para llegar a la puerta de arribo, ¿cuál es la probabilidad de que pierda el avión?
35. Los tiempos entre las llegadas de vehículos a un determinado entronque siguen una distribución de probabilidad exponencial cuya media es 12 segundos.
a. Dibuje esta distribución de probabilidad exponencial.
b. ¿Cuál es la probabilidad de que los tiempos de llegada entre vehículos sean 12 segundos o menos?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que los tiempos de llegada entre vehículos sean 6 segundos o menos? d. ¿Cuál es la probabilidad de 30 o más segundos entre los tiempos de llegada?
36. El tiempo de vida (en hora) de un dispositivo electrónico es una variable aleatoria que tiene la siguiente función de densidad de probabilidad exponencial.
a. ¿Cuál es la media del tiempo de vida de este dispositivo? b. ¿Cuál es la probabilidad de que el dispositivo tenga una falla en las primeras 25 horas de funcionamiento? c. ¿Cuál es la probabilidad de que el dispositivo funcione 100 o más horas sin fallar?
38. ¿Las interrupciones durante su trabajo reducen su productividad? De acuerdo con un estudio realizado por la University of California–Irvine, las personas de negocios son interrumpidas aproximadamente 51/2 veces por hora (Fortune, 20 de marzo de 2006). Suponga que el número de interrupciones sigue una distribución de probabilidad de Poisson. a. Dé la distribución de probabilidad para el tiempo entre las interrupciones. b. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de negocios no tenga ninguna interrupción en 15 minutos? c. ¿Cuál es la probabilidad de que la siguiente interrupción a una determinada persona de negocios ocurra en no más de 10 minutos?
40. La U.S. Bureau of Labor Statistics informa que el gasto promedio anual en alimentos y bebidas de una familia es $5700 (Money, diciembre de 2003). Suponga que los gastos anuales en alimentos y bebidas están distribuidos en forma normal y que la desviación estándar es $1500. a. ¿Cuál es el intervalo en que se encuentran los gastos de 10% de las familias que tienen los menores gastos anuales en alimentos y bebidas? b. ¿Qué porcentaje de las familias gasta más de $7000 anualmente en alimentos y bebidas? c. ¿Cuál es el intervalo en el que se encuentran los gastos de 5% de las familias que tienen los gastos más altos en alimentos y bebidas?
42. El promedio anual de gastos de una familia estadounidense en transporte diario es $6312 (Money, agosto de 2001). Suponga que dicha cantidad está distribuida normalmente. a. Si sabe que 5% de las familias estadounidenses gastan menos de $1000 en el transporte diario. ¿Cuál es la desviación estándar en esta cantidad de gasto? b. ¿Cuál es la probabilidad de que un hogar gaste entre $4000 y $6000? c. ¿En que intervalo se encuentran los gastos de las familias que constituyen 3% de las familias con los gastos más altos en transporte?
44. Ward Doering Auto Sales está pensando en ofrecer un contrato especial de servicio que cubra todos los costos de servicio de los automóviles vendidos. De acuerdo con la experiencia, el director de la empresa estima que los costos anuales de servicio están distribuidos casi normalmente con una media de $150 y una desviación estándar de $25. a. Si la empresa ofrece a los clientes el contrato de servicio por una cantidad anual de $200, ¿cuál es la probabilidad de que el costo de un servicio sea mayor a los $200 del precio del contrato? b. ¿Cuál es la ganancia esperada por la empresa en estos contratos de servicio?
46. Suponga que las puntuaciones obtenidas en el examen de admisión a una universidad están distribuidas en forma normal con una media de 450 y una desviación estándar de 100. a. ¿Qué porcentaje de las personas que hacen el examen tendrá una puntuación entre 400 y 500? b. Si la puntuación que obtiene un estudiante es 630. ¿Qué porcentaje de los estudiantes que hacen el examen tendrá una puntuación mayor? ¿Qué porcentaje tendrá una puntuación menor? c. Si la universidad no admite estudiantes que obtengan una puntuación menor a 480, ¿qué porcentaje de los estudiantes que hacen el examen podrá ser aceptado?
48. Una máquina llena recipientes con un determinado producto. De acuerdo con datos anteriores se sabe que la desviación estándar en los pesos rellenados es 0.6 onzas. Si sólo 2% de los recipientes llenados tienen menos de 18 onzas, ¿cuál es el peso medio de llenado de la máquina? Es decir, a cuánto es igual μ? Suponga que los pesos llenados tienen una distribución normal.
50. En Las Vegas un jugador de blackjack se entera de que la casa proporcionará una habitación gratis a quien juegue cuatro horas con un promedio de apuesta de $50. La estrategia del jugador tiene una probabilidad de ganar en cualquier mano de 0.49 y el jugador sabe que hay 60 manos por hora. Suponga que el jugador juega durante cuatro horas con una apuesta de $50 por mano. a. ¿Cuál es la ganancia esperada del jugador? b. ¿Cuál es la probabilidad de que el jugador pierda $1000 o más? c. ¿Cuál es la probabilidad de que el jugador gane? d. Si el jugador empieza con $1500. ¿Cuál es la probabilidad de que el jugador se vaya a la bancarrota?
52. El sitio Web de Bed and Breakfast Inns of North America (www.cimarron.net) recibe aproximadamente siete visitas por minuto (Time, septiembre de 2001). Suponga que el número de visitantes por minuto sigue una distribución de probabilidad de Poisson.
a. ¿Cuál es el tiempo medio entre las visitas a este sitio de la Web? b. Muestre la función de densidad de probabilidad exponencial para los tiempos entre las visitas a este sitio. c. ¿Cuál es la probabilidad de que nadie visite este sitio en un lapso de 1 minuto? d. ¿Cuál es la probabilidad de que nadie visite este sitio en un lapso de 12 minutos?
54. El tiempo (en minutos) entre dos llamadas telefónicas en la oficina de solicitud de servicios de una aseguradora tiene la siguiente distribución de probabilidad exponencial.
a. ¿Cuál es el tiempo medio entre las llamadas telefónicas? b. ¿Cuál es la probabilidad de que pasen 30 segundos o menos entre llamadas telefónicas? c. ¿De que pase 1 minuto o menos entre las llamadas telefónicas? d. ¿Cuál es la probabilidad de que pasen 5 minutos o más sin que haya llamadas telefónicas?
